مربع

مربع در هندسه یک چهارضلعی منتظم است؛ به عبارت دیگر خمی بسته‌است که چهار ضلع دارد که همهٔ این ضلع‌ها با هم برابرند و با یکدیگر دو به دو زاویهٔ ۹۰ درجه یا راست می‌سازند. تعریف دیگر برای مربع عبارت است از: مربع، راست‌گوشه‌ای یا مستطیلی است که ضلع‌های مجاورش طولی برابر دارند. یک مربع که نام چهار گوشه‌اش ABCD باشد به صورت ABCD نمایش داده می‌شود.

مربع حالت دو بُعدی یا n=2 از خانوادهٔ ابرمکعب‌ها و n-ابرهشت‌وجهی‌ها است.

شناسه مربع

یک چهارضلعی محدب یک مربع است اگر و تنها اگر یکی از شرط‌های زیر را داشته باشد:

1. یک راست‌گوشه با دو ضلع مجاور برابر.
2. یک چهارضلعی با چهار لبهٔ برابر (ضلع برابر) و چهار زاویهٔ راست.
3. یک متوازی‌الأضلاع با یک زاویهٔ راست و دو ضلع مجاور برابر.
4. یک لوزی با یک زاویهٔ راست.
5. یک لوزی با چهار زاویهٔ برابر.
6. یک چهارضلعی که قطرهای آن با هم برابرند و بر یکدیگر عمودند و همدیگر را به دو نیم تقسیم می‌کنند (عمودمنصفند) مانند یک لوزی با قطرهای برابر.
7. یک مستطیل که طول چهار ضلع آن با هم برابر است.

پیرامون و سطح مربع

پیرامون یک مربع با ضلع a برابر است با:

$P=4a$

و مساحت آن برابر است با:

$A=a^{2}$

به صورت سنتی در ریاضی به توان دوم یک عبارت، مربع آن عبارت گفته می‌شود مانند رابطهٔ بالا که در آن مساحت برابر توان دوم ضلع بود. در ادامه، چنین کاربردی عبارت "مربع کامل" نیز به واژه‌نامهٔ ریاضیات افزوده شد به معنی به توان دو رساندن.

رابطه مساحت مربع به روش مثلثاتی

مربع چون یک چندضلعی منتظم است، مساحت آن را می‌توان به صورت مساحت چندضلعی منتظم که به روش مثلثاتی به دست می‌آید نیز نوشت که رابطه به این صورت است:

$A={\frac {1}{2}}\times n\times r^{2}\times \sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)$

در اینجا:

• n تعداد اضلاع چندضلعی است (برای مربع n=4).
• r شعاع دایره محیطی چندضلعی است.

برای مربع، مساحت به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$A={\frac {1}{2}}\times 4\times r^{2}\times \sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)=2r^{2}\times 1=2r^{2}$

اما از آنجا که شعاع دایره محیطی مربع برابر با نصف قطر مربع است و قطر مربع برابر 2​a است، می‌توان گفت که r=2a2​​. پس مساحت مربع همواره برابر با مجذور ضلع آن است.

دستگاه مختصات و معادله‌ها

گوشه‌های یک مربع که مرکز آن بر روی مبدأ مختصات قرار دارد و طول لبه‌های آن (ضلع) 2 است، بر روی نقطه‌های (±1,±1) جای می‌گیرد. معادلهٔ زیر، توضیح دهندهٔ یک مربع با طول لبه‌های 2 و مرکزی در مبدأ مختصات است:

$|x|\leq 1\quad {\text{و}}\quad |y|\leq 1$

در این حالت، شعاع دایرهٔ محیطی مربع برابر با نصف قطر مربع است و مقدار آن برابر با ${\sqrt {2}}$​ می‌باشد. معادلهٔ دایرهٔ محیطی به صورت زیر است:

$x^{2}+y^{2}=2$

ساخت

پویانمایی روبرو چگونگی کشیدن یک مربع با کمک یک پرگار و ستاره را نمایش می‌دهد.

ویژگی‌ها

یک مربع حالت ویژه‌ای از لوزی (ضلع‌های برابر، زاویه‌های روبروی برابر)، بادبادک (دو جفت ضلع مجاور برابر)، متوازی‌الأضلاع (ضلع‌های روبروی موازی)، چهارضلعی یا راست‌گوشه (ضلع‌های روبروی برابر، زاویه‌های راست) است. به این معنی که مربع تمامی ویژگی‌های این شکل‌های هندسی نام‌برده شده را دارد.

هندسهٔ نااقلیدوسی

در هندسهٔ نااقلیدوسی، مربع‌ها بیشتر چهارگوش‌هایی با چهار ضلع و زاویهٔ برابرند. در هندسهٔ کروی، مربع، چهارگوشی است که هر ضلع آن کمانی از دایرهٔ بزرگ است که فاصلهٔ برابر دارند. در نتیجه در زاویه‌های برابر با هم برخورد می‌کنند. بر خلاف مربع در هندسهٔ مسطحه، زاویه‌های مربع بزرگتر از زاویهٔ راست گوشه است. هرچه مربع کروی بزرگتر باشد زاویه‌های بزرگتری هم دارد.

در هندسهٔ هذلولی‌گون، مربع با زاویهٔ راست وجود ندارد. در این هندسه مربع‌ها زاویه‌هایی کوچکتر از زاویهٔ راست دارند. هرچه مربع هذلولی‌گون بزرگتر باشد، زاویه‌های آن کوچکتر خواهند بود.

چند نمونه:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Square_on_sphere.svg/200px-Square_on_sphere.svg.pngشش مربع می‌تواند یک کره را بپوشانند بگونه‌ای که در هر گوشه (راس) سه مربع جای می‌گیرد و زاویهٔ درونی ۱۲۰ درجه می‌سازد. به چنین شکلی، مکعب کروی می‌گوییم. رمز اشلفلی آن {۴٬۳} است.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/15/Square_on_plane.svg/200px-Square_on_plane.svg.pngدر هندسهٔ اقلیدوسی مربع در صفحه چهار گوشه با زاویه‌های ۹۰ درجه و چهار صلع برابر دارد. رمز اشلفلی آن {۴٬۴} است.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Square_on_hyperbolic_plane.png/200px-Square_on_hyperbolic_plane.pngدر صفحهٔ هذلولی گون در هر گوشهٔ مربع ۵ مربع در پیرامون جای می‌گیرد و زاویه‌های ۷۲ درجه ساخته می‌شود. رمز اشلفلی آن {۴٬۵} است. در حقیقت به ازای n ≥ ۵ برای فرش کردن صفحه پیرامون هر گوشه، n مربع جای می‌گیرد.